数多あるBarrierのうち、いわゆるOne Touch,No Touchと呼ばれるDigital Optionを考えます。
最初の段階ではDouble Barrierに固執せず、Double/Single　Barrier共通の複雑性について。
通常のDigital(European Digital)のCallは、満期時点で株価がStrike以上だったら1、以下なら0。
これに単にBarrierをつけたKnock-Out Digital Callが満期で1もらえる条件は
BarrierにTouchしない　かつ　満期時点で株価がStrikeを超える
となりますが、一方のNo Touchは単に　BarrierにTouchしない　という点に留意が必要です。
実務的にはKnock-Out Digital CallよりはNo Touch Digitalの方が出現頻度は高い。
また、One TouchはBarrierにTouchする　ですが、Rebateを払うタイミングが
満期(Barrierの参照期間と同じ)のものとBarrierにTouchしてからX Business Days後の
2通りあり、俗にRebate at MaturityとRebate at Hitと呼ばれています。
Exotic Parityは
European Digital＝KO Digital+KI　Digital
Discount Bond＝No Touch Digital+One Touch Digital at Maturity
Exotic Parityに入らないやっかいもののOne Touch at Hitですが、金利が正の環境下では
One Touch Digital at Hit > One Touch Digital at Maturity
くらいしか言えません。これも同様にat Matよりビジネス上の出現頻度が高いところが泣かせます。
ここからは、本題のDouble Barrierについて考えます。
Payoffの形はVanillaでもDigitalでもいずれにも適応できる話ですが、前述のようにat Hitは難しい
概念なのでKnock-Inは全てat Matとしてください。
また、ここではSpotの上下にBarrierがあることを想定しています。
これ以外にもUpIn&UpOut、120%Knock-In、150%Knock-Outのように
ベン図の一つの円がもう一つの円の部分集合になるようなケースも考えられますが、
Single Barrierとして独立に計算したものの線形結合で表現することができ、
Double Barrierとはいい難いので今回の対象から外しました。
ベン図で書くと、
Higher Barrier Knock-Inの領域、Lower Barrier Knock-Inの領域となり
全ての事象を4領域に分断するので2^4＝16通りのCombination。
そのうち、Payoutなし(真っ白)と割引債(真っピンク)を除けば、Double Barrier at Matだけで全14通り。
Singleに帰着できる領域　4通り
Up&In　,　Up&Out

Down&In　,　Down&Out

通常　Double Barrier領域　2通り
No Touch　,　One Touch

理論の産物、Symmetric Double Barrier　4通り
Double Touch Knock-In　, 　Double Touch Knock-Out

One Touch In Double Touch Out　,　One Touch Out Double Touch In

片側だけでなく、両側触れたらKnock-Inとか言い出すとこう(↑)なります。
末期症状　Asymmetric Double Barrier(非対称型)　4通り
UI&DO Out優先,
　もし、Knock-InとKnock-Outが起きたらどちらを優先するかということですが
　In優先にしてしまうと、単なるUp&Inに帰着してしまうので、このような言い方をするしかありません。
UO&DI In優先 Initial Effective,
　この場合、さらに、Down In Eventが起こらなくてもPayoutがもらえます。
　Down Inしないともらえないとすると、結局Down&Inに帰着します。

UO&DI Out優先
　In優先はDown Inに帰着
UI&DO In優先 Initial Effective
　Initial None Effectiveは、Up&Inに帰着

ここまで書いて自然に理解できることはUI&DOには二通りあってOut優先とIn優先。しかもIn優先はInitial Effective。
ここではベン図からスタートしてるから、あたり前の議論のように見えますが
非対称Double Barrierを文字から始めると大変なことになります。
例えば、実際のビジネスでは、「Double BarrierのDigitalやりたいんだけどUI&DOいくらかな?」
となるわけで、Out優先/In優先まで言及してくるヤツはまずいないと言っていい。
Term Sheetで書こうと思ったらIn優先のInitial Effectiveまで書かないと不明確。
この記事は仕事で使えます。こういうのは一度書いておけばオプション名に訛があろうが本質は同じ。
ちょっとだけ英語ちりばめておいた。これで説明には十分な単語じゃ。
どうせ非対称Double Barrierなんか投資家自身も理解してないからDoneしない。
そういうフラフラしている人からRequestが来た時、イナスための対策としてどうぞ。
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