1yのATMオプション、Volatility30%ならいくら?70%なら?

たくさんの個別株を扱うVanilla Dealerとして、ミスをしないためにPremiumがσ/√2πということ
を経験的に知っておく必要があるだろう。
ちょっと直感的には難しいですが、Volatility以外の条件が決まっているということであれば、
Premiumをσでテイラー展開すれば良い訳で、1次の項だけで考えてVegaの計算でわかります。
エクイティなんで大体短いのが多いからDrift無視して0Drift 1yearのATMだから、
r,q=0、T=1,S=Xで計算が簡易になり変数はVolatilityのみでσの関数として考えると、
(σ*d/dσ+σ2/2*(d/dσ)2+�)C
と続くが、2次微分(volga)以降無視して1次項だけ取れば、
σ*d/dσC=σ*VegaでPremiumを表現可能。
VegaはN'(d1)が入るから累積密度関数の1/√2πが出てきているということでしょう。
問題は1yでしたが、ここでは一般にt年のオプションを考えると
Premium=Vega*σ=σ√t*N'(d1)=σ√t*1/√2π*exp(-d1^2/2)
d1は上記の想定より
d1={ln(S/X)+(r-q+σ^2/2)t}/(σ√t)
={(ln(1)+(0+σ^2/2)t}/(σ√t)
=σ√t/2
Premium=σ√t*1/√2π*exp(-d1^2/2
=σ√t*1/√2π*exp(-(σ√t/2)^2/2)
=σ√t/√2π*exp(-(σ^2t/8))
=σ√t/√2π*(1-(σ2t/8)+(σ2t/8)^2/2-…)
うーん、2項目以降は0、えいやっ!
=σ√t/√2π (πも√の中ね)
こんなんでました�と。結構合うぞ。お試しアレ。忘れてましたよ。累積密度関数。
Plain Vanilla、奥が深い�。