最近、日本市場では日経レバ2のETFが売買代金トップとなっているようだ。市場としての品位と参加者の質がうかがいしれる状態だが、フォローするならば、デリバティブと株の損益通算ができないという税制も、日経レバ2の流動性を後押しする要因となっているだろう。
規模が大きすぎて、1570の先物売買が市場を左右することもあるらしいが、今回はその話ではなく、
1570のフォワードそのものがいくらで取引されるべきか? という哲学的ｗ な問題に切り込もう。
「フハハ。フォワードなのにガンマありそうだな。面白い話題だとは思うが、これを論じたところで理解できるヤツがおらんだろう」 という私に対して
「10人くらいは居るんじゃないですかねぇ? 正解は無いと思うのですが、1570アンダーライングのデリバティブをブックしてみれば、どう管理するかは必ず対処はしなければならない問題です。この話題の供給者はゼロなので、たとえ10人しか理解できる人がいないとしても、需給のバランスは良いはずです」
と説得されたのでｗ 一筆書いてみることにしよう。
1570アンダーライングのデリバティブを1570アンダーライングとして認識する、すなわち1570でヘッジする場合は、
分配金のみをキャリーコストとして差し引いてフォワードを計算することになろう。ただ、1570は中身が先物で配当が無いので、分配金も存在しないようだ。
しかし、ポジションが大きい場合、これではあまりに不本意すぎる…というのがトレーダー諸君らの悩みどころだろう。
1570アンダーライングのデリバティブを日経225アンダーライングとして認識する、すなわち先物でヘッジする場合について考えていこう。
日経225のキャッシュプライスSに対して、まず考えると
ドリフト項：リスクフリー×2－配当率×2－信託報酬
拡散項：2σ
信託報酬も引いてよいと思う。だが、問題は、既に当ブログでも取り上げている日経レバ2が本質的に持つガンマロング性の評価をドリフト項にどう加えるかである。
2014.04.25 素人がハマっている必負法 1/3 ～日経レバ2の行く末
日経225のボラティリティ、ここではインプライドボラティリティの解釈で良く、それをσとする。運用会社はデイリーでリバランスするので、 簡単なケースとして、ある日+1σ、次の日-1σ動いたときの、引け値で取引したと近似してポジションと損益を実際に計算してみよう。
株価 ポジション 1 2 1+σ 2+2σ 1 2
1日目の損益は {(1+σ)－1} × 2 ＝ 2σ
2日目の損益は {1-(1+σ)}×(2+2σ)＝ -2σ-2σ^2 2日間の損益は-2σ^2となるので、1日あたりの損益は-σ^2となる。
では、連騰相場
株価 ポジション 1 2 (1+σ) 2+2σ (1+σ)(1+σ)
2日目の損益 {(1＋2σ＋σ^2)－(1＋σ)}×(2+2σ)＝(σ＋σ^2)×(2+2σ)＝2σ+2σ^2+2σ^2+2σ^3＝2(σ+2σ^2+σ^3)
次、続落
株価 ポジション 1 2 (1-σ) 2-2σ (1-σ)(1-σ)
2日目の損益 {(1-2σ＋σ^2)－(1-σ)}×(2-2σ)＝(-σ＋σ^2)×(2-2σ)＝-2σ+2σ^2+2σ^2-2σ^3＝-2(σ-2σ^2+σ^3)
連騰と続落の場合の2日分の損益を足せば、8σ^2、一日当たり+4σ^2となり、連騰や続落相場では有利に働く効果がある。
これをn日分、50%-50%でやるのかリスク中立確率でやるのかは諸君らに任せるが、これだけ引けばいいんじゃないの?
連騰相場では1570の持つガンマロング性が、S^2のPower Forwardのごとくに効いてくるので、デルタヘッジをしているトレーダーを悩ませているポイントは、Forward値よりも、このデルタエクスポージャーのブレにあることだろう。書きながら思ったのだが、その観点ではS^2のデリバティブとして処理するのが一番楽かもしれないな。
行って来いの相場に帰着する年率-σ^2が最大のフォワードの下げ分だが、連騰効果で相殺されて、3σ以上動くような相場もあるので、どうだろうか? 自分で計算するのも手間なのだが、ざっと実測度下の、日経平均株価と1570の動きを2年分ほど見てみようか。
Close Price End2014 Perf 日付 N225 1570 N225 1570 N225×2 Spread 2016年2月22日 16,111.05 10,480 98.9% 89.1% 97.8% -8.7% 2016年2月15日 15,967.17 10,340 98.0% 87.9% 96.0% -8.1% 2016年2月8日 14,952.61 9,130 91.8% 77.6% 83.6% -5.9% 2016年2月1日 16,819.59 11,640 103.2% 99.0% 106.5% -7.5% 2016年1月25日 17,518.30 12,710 107.5% 108.1% 115.1% -7.0% 2016年1月18日 16,958.53 11,860 104.1% 100.9% 108.2% -7.3% 2016年1月12日 17,147.11 12,200 105.3% 103.7% 110.5% -6.8% 2016年1月4日 17,697.96 13,100 108.6% 111.4% 117.3% -5.9% 2015年12月28日 19,033.71 15,100 116.8% 128.4% 133.7% -5.3% 2015年12月21日 18,769.06 14,670 115.2% 124.7% 130.4% -5.7% 2015年12月14日 18,986.80 15,090 116.5% 128.3% 133.1% -4.8% 2015年12月7日 19,230.48 15,740 118.0% 133.8% 136.1% -2.2% 2015年11月30日 19,504.48 16,030 119.7% 136.3% 139.4% -3.1% 2015年11月24日 19,883.94 16,580 122.1% 141.0% 144.1% -3.1% 2015年11月16日 19,879.81 16,530 122.0% 140.6% 144.1% -3.5% 2015年11月9日 19,596.91 16,110 120.3% 137.0% 140.6% -3.6% 2015年11月2日 19,265.60 15,600 118.3% 132.7% 136.5% -3.9% 2015年10月26日 19,083.10 15,330 117.1% 130.4% 134.3% -3.9% 2015年10月19日 18,825.30 14,920 115.6% 126.9% 131.1% -4.2% 2015年10月13日 18,291.80 14,050 112.3% 119.5% 124.6% -5.1% 2015年10月5日 18,438.67 14,320 113.2% 121.8% 126.4% -4.6% 2015年9月28日 17,725.13 13,230 108.8% 112.5% 117.6% -5.1% 2015年9月24日 17,880.51 13,300 109.8% 113.1% 119.5% -6.4% 2015年9月14日 18,070.21 13,730 110.9% 116.8% 121.8% -5.1% 2015年9月7日 18,264.22 13,970 112.1% 118.8% 124.2% -5.4% 2015年8月31日 17,792.16 13,340 109.2% 113.4% 118.4% -5.0% 2015年8月24日 19,136.32 15,480 117.5% 131.6% 134.9% -3.3% 2015年8月17日 19,435.83 16,140 119.3% 137.2% 138.6% -1.4% 2015年8月10日 20,519.45 17,980 126.0% 152.9% 151.9% 1.0% 2015年8月3日 20,724.56 18,360 127.2% 156.1% 154.4% 1.7% 2015年7月27日 20,585.24 18,070 126.4% 153.7% 152.7% 0.9% 2015年7月21日 20,544.53 18,040 126.1% 153.4% 152.2% 1.2% 2015年7月13日 20,650.92 18,220 126.8% 154.9% 153.5% 1.4% 2015年7月6日 19,779.83 16,780 121.4% 142.7% 142.8% -0.1% 2015年6月29日 20,539.79 18,100 126.1% 153.9% 152.2% 1.8% 2015年6月22日 20,706.15 18,440 127.1% 156.8% 154.2% 2.6% 2015年6月15日 20,174.24 17,460 123.8% 148.5% 147.7% 0.8% 2015年6月8日 20,407.08 17,870 125.3% 152.0% 150.5% 1.4% 2015年6月1日 20,460.90 18,010 125.6% 153.1% 151.2% 2.0% 2015年5月25日 20,563.15 18,230 126.2% 155.0% 152.4% 2.6% 2015年5月18日 20,264.41 17,700 124.4% 150.5% 148.8% 1.7% 2015年5月11日 19,732.92 16,710 121.1% 142.1% 142.3% -0.2% 2015年5月7日 19,379.19 16,230 119.0% 138.0% 137.9% 0.1% 2015年4月27日 19,531.63 16,470 119.9% 140.1% 139.8% 0.3% 2015年4月20日 20,020.04 17,320 122.9% 147.3% 145.8% 1.5% 2015年4月13日 19,652.88 16,700 120.6% 142.0% 141.3% 0.7% 2015年4月6日 19,907.63 17,220 122.2% 146.4% 144.4% 2.0% 2015年3月30日 19,435.08 16,320 119.3% 138.8% 138.6% 0.2% 2015年3月23日 19,285.63 16,080 118.4% 136.7% 136.8% 0.0% 2015年3月16日 19,560.22 16,400 120.1% 139.5% 140.1% -0.7% 2015年3月9日 19,254.25 15,900 118.2% 135.2% 136.4% -1.2% 2015年3月2日 18,971.00 15,430 116.4% 131.2% 132.9% -1.7% 2015年2月23日 18,797.94 15,160 115.4% 128.9% 130.8% -1.9% 2015年2月16日 18,332.30 14,420 112.5% 122.6% 125.1% -2.4% 2015年2月9日 17,913.36 13,770 110.0% 117.1% 119.9% -2.8% 2015年2月2日 17,648.50 13,350 108.3% 113.5% 116.7% -3.1% 2015年1月26日 17,674.39 13,440 108.5% 114.3% 117.0% -2.7% 2015年1月19日 17,511.75 13,150 107.5% 111.8% 115.0% -3.2% 2015年1月13日 16,864.16 12,220 103.5% 103.9% 107.0% -3.1% 2015年1月5日 17,197.73 12,750 105.6% 108.4% 111.1% -2.7% 2014年12月29日 17,450.77 13,170 107.1% 112.0% 114.2% -2.2% 2014年12月22日 17,818.96 13,760 109.4% 117.0% 118.8% -1.7% 2014年12月15日 17,621.40 13,400 108.2% 113.9% 116.3% -2.4% 2014年12月8日 17,371.58 13,110 106.6% 111.5% 113.3% -1.8% 2014年12月1日 17,920.45 13,920 110.0% 118.4% 120.0% -1.6% 2014年11月25日 17,459.85 13,210 107.2% 112.3% 114.3% -2.0% 2014年11月17日 17,357.51 13,090 106.5% 111.3% 113.1% -1.8% 2014年11月10日 17,490.83 13,280 107.4% 112.9% 114.7% -1.8% 2014年11月4日 16,880.38 12,410 103.6% 105.5% 107.2% -1.7% 2014年10月27日 16,413.76 11,740 100.8% 99.8% 101.5% -1.7% 2014年10月20日 15,291.64 10,190 93.9% 86.6% 87.7% -1.1% 2014年10月14日 14,532.51 9,250 89.2% 78.7% 78.4% 0.2% 2014年10月6日 15,300.55 10,280 93.9% 87.4% 87.8% -0.4% 2014年9月29日 15,708.65 10,820 96.4% 92.0% 92.8% -0.8% 2014年9月22日 16,229.86 11,560 99.6% 98.3% 99.2% -0.9% 2014年9月16日 16,321.17 11,570 100.2% 98.4% 100.4% -2.0% 2014年9月8日 15,948.29 11,050 97.9% 94.0% 95.8% -1.8% 2014年9月1日 15,668.68 10,690 96.2% 90.9% 92.4% -1.5% 2014年8月25日 15,424.59 10,350 94.7% 88.0% 89.4% -1.3% 2014年8月18日 15,539.19 10,500 95.4% 89.3% 90.8% -1.5% 2014年8月11日 15,318.34 10,200 94.0% 86.7% 88.1% -1.3% 2014年8月4日 14,778.37 9,520 90.7% 81.0% 81.4% -0.5% 2014年7月28日 15,523.11 10,530 95.3% 89.5% 90.6% -1.0% 2014年7月22日 15,457.87 10,410 94.9% 88.5% 89.8% -1.2% 2014年7月14日 15,215.71 10,110 93.4% 86.0% 86.8% -0.8% 2014年7月7日 15,164.04 10,050 93.1% 85.5% 86.2% -0.7% 2014年6月30日 15,437.13 10,400 94.8% 88.4% 89.5% -1.1% 2014年6月23日 15,095.00 9,930 92.7% 84.4% 85.3% -0.9% 2014年6月16日 15,349.42 10,260 94.2% 87.2% 88.4% -1.2% 2014年6月9日 15,097.84 9,960 92.7% 84.7% 85.3% -0.7% 2014年6月2日 15,077.24 9,930 92.5% 84.4% 85.1% -0.7% 2014年5月26日 14,632.38 9,360 89.8% 79.6% 79.6% 0.0% 2014年5月19日 14,462.17 9,150 88.8% 77.8% 77.5% 0.3% 2014年5月12日 14,096.59 8,710 86.5% 74.1% 73.1% 1.0% 2014年5月7日 14,199.59 8,830 87.2% 75.1% 74.3% 0.8% 2014年4月28日 14,457.51 9,160 88.7% 77.9% 77.5% 0.4% 2014年4月21日 14,429.26 9,160 88.6% 77.9% 77.1% 0.8% 2014年4月14日 14,516.27 9,250 89.1% 78.7% 78.2% 0.4% 2014年4月7日 13,960.05 8,570 85.7% 72.9% 71.4% 1.5% 2014年3月31日 15,063.77 10,000 92.5% 85.0% 84.9% 0.1% 2014年3月24日 14,696.03 9,510 90.2% 80.9% 80.4% 0.5% 2014年3月17日 14,224.23 8,820 87.3% 75.0% 74.6% 0.4% 2014年3月10日 14,327.66 8,920 87.9% 75.9% 75.9% 0.0% 2014年3月3日 15,274.07 10,200 93.8% 86.7% 87.5% -0.8% 2014年2月24日 14,841.07 9,620 91.1% 81.8% 82.2% -0.4% 2014年2月17日 14,865.67 9,670 91.2% 82.2% 82.5% -0.3% 2014年2月10日 14,313.03 8,980 87.9% 76.4% 75.7% 0.6% 2014年2月3日 14,462.41 9,170 88.8% 78.0% 77.5% 0.4% 2014年1月27日 14,914.53 9,780 91.5% 83.2% 83.1% 0.1% 2014年1月20日 15,391.56 10,480 94.5% 89.1% 89.0% 0.2% 2014年1月14日 15,734.46 10,950 96.6% 93.1% 93.2% -0.1% 2014年1月6日 15,912.06 11,240 97.7% 95.6% 95.3% 0.2% 2013年12月30日 16,291.31 11,760 100.0% 100.0% 100.0% 0.0% 2013年12月24日 16,178.94 11,620 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%
うーむ、相当な直観だが、天才の直観を信じようｗ 長くなればなるほど、-σ^2に近づいていくとは思うが、短く1-2年のイメージは正規分布で -0.7×σ^2 t でどうだ? 今Realizedでボラが20%くらいだから 1年で-2.8%、2年で-5.6% 1年目は少し強すぎて、2年目は実測値で見るとそこそこリーズナブルかな? マーケットで取引されてるフォワードレベルでも後で個人的に報告してくれ。
今日の結論は、S^2、アンダーライングとしてブックして、コストを信託報酬と上記のリバランスコストを差し引く。
【非幾何ブラウン運動系関連記事】
2013.09.03 最適行使モデル主題による交響的変容 2/2 ～離散配当
2012.11.13 アメリカン・オプションをモンテカルロするのが難しい理由 5/5 ～TreeのGreeks計算
2011.03.16 Dupireのセミナーに行ってきた 2/2
2010.11.01: 三田氏を斬る ～トレーディングの現場の解説
2010.04.06: VIX Option Trader
2010.01.18: 50% Knock-In PutのPremiumって実現できるの?＠幾何ブラウンへの近似有効性
2009.09.29: Black-Scholesは間違っている
2009.06.23: Marketの振る舞いO/NとIntraday
2009.04.14: SingaporeのGDPとSGDのJump
2008.12.26: 将来の株価をVolatilityで予想ってお洒落
2008.02.01: Skewness(歪度) マーケットの非対称性
2008.01.24: 恐るべしJump DiffusionとVAR-SWAP
2007.12.27: Jump Diffusionと市場効率性