Black-Scholesは間違っている

昨今よく耳にする金融工学批判や理論批判に対し、今日は少し噛み付いてみましょう。
とはいえ、このような批判は実は一般社会よりは金融機関内に巣食う理解の薄い古株たちに渦巻き
がちで局所的なものなので、一般読者のためにはさらにもう一段噛み砕かないとここで言っている内容
が伝わらないかもしれません。
なので一般の方にもわかりやすいよくある質問や誤解を交えながら、書いていこうと思います。
「Black-Scholes(以下BS)は間違っている」
よく聞く台詞ですが、往々にしてこのようなことを発言する人は、オプションをちょっとかじり、わかった気に
なっているだけで、BSとは何なのかも理解せずに間違っていると批判していることが多いです。
BSは、Wikiで日本語で解説があるほど有名な方程式ですが、ここで言っている事は
Underlying Sが幾何ブラウンに従う時、 (微分方程式を知らない読者は、
読んで字のごとく、μで時間成長して、σでランダムっぽく振舞うくらいの理解で十分です)
そう言えば、当ブログ上、幾何ブラウンという言葉は何度も出ておりますが微分方程式表示は初出ですな・・・
そのコールオプションであるMax(S-K,0)の期待値がBlack-Scholes方程式 (Call Option Price)

であらわされる。
確率密度関数N(x)

d1

という数学・金融工学上の閉じた話で、オプションの市場価格の話とは次元が異なります。
コールオプションとは何かという説明は、株を一定の価格で買う権利とか説明するよりもこれが直感的に
一番わかりやすいと思います。少なくとも私はそうだったのでご参考までに。
2007.12.01: 初めて会った時から好きだった
「BSは間違っている」とか「BSはOutなオプションの価格を説明できない。」と発言するタイプの方の頭
の中にありがちな想定、「オプション価格はBSで与えられる。」という感覚が私には理解できません
幾何ブラウンを規定する時にドリフトμとボラティリティσを指定したのは自分自身であり、そのパラメーター
がオプションの価格を説明できていないのならば、それはBSが間違っているのではなく、自分の入れた
数値が間違っているだけのことです。
オプションの市場価格を説明できるようなVolatilityをBSに与えるというのがBSの常識的な使い方です。
「金融工学の理論を理解すれば、将来の株価が予想できる。」
ブブー。そういうものではないことが理論を理解すればわかります。
もし将来の株価、例えば1ヵ月後のS(T)を1000円とExactに予想するのであれば、現値Strike
800円のCall Optionの価値は200円=1000円-800円の現在価値で然るべきで、そこに
Volatilityだ確率過程だという理論は入る余地がありません。
もっと言えば、1ヵ月後1000円になる株が800円で売られているのならば、株を買えば確実に25%の
Returnがある
ことになりますが、何でこれをみんなこぞって買いにいかないのでしょうか?
これを専門用語でArbitrage Freeと言います。
もう少し踏み込むと、
株価の期待リターンはRiskfreeに帰着するという想定(Risk-Neutral Measure)で、
デリバティブを評価してもよいと言っているだけなので、理論は、株価の期待値がRiskfreeである
とも言っていない
のです。
すいません。やっぱり一般の人には難しい文章になってしまい、一体誰向けに書いてるのか不明に
なってしまいました。次回は幾何ブラウン運動について。
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