為替のオプションは、EURJPYのEUR Call JPY Putと表記されるように対称性が美しい。
であるから、EURJPY=130という尺度を持って見つめようが、JPYEUR=1/130で見ようが
同じものでなければならない。
問
150円で1EUR買う権利を1mil EUR分
EURJPY　EUR Call
EUR 1mil Notional
Spot　EURJPY＝130
Strike　EURJPY＝150
に等価な対称的オプション、ある決まった値段でEURを買い、1円を売る権利、
すなわち、Spot　JPYEUR＝1/130＝0.007692で見た場合のオプションを定義し、
PremiumとGreeksの関係を説明せよ。
解
JPYEUR　JPY Put
Strike　JPYEUR＝1/150＝0.006667
JPY 150mil Notional
が等しい。
Premium、Vega、Rate Sensitivityなどは全て
EUR Call × EUR Notional　=　JPY Put × JPY Notional × EURJPY
の関係になる。
一方Deltaはどのようになるのだろうか?
X＝EURJPYとして、上式に対してd/dXを施すので
d/dX(EUR Call × EUR Notional)　=　d/dX(JPY Put × JPY Notional × EURJPY)
両辺のNotionalは単位は違えども定数なので、微分の外へ
d/dX(EUR Call)× EUR Notional　=　d/dX(JPY Put × EURJPY)　× JPY Notional
右辺は積の微分で展開　dEURJPY/dX=1であるから
EUR Call　Delta × EUR Notional　
=　{d/dX(JPY Put) × EURJPY + JPY Put}　× JPY Notional
Y＝1/X＝JPYEURと置くと
=　{d/dY(JPY Put) ・(dY/dX)× EURJPY　+　JPY Put}　× JPY Notional
dY/dX＝-1/X^2だから
=　{(JPY Put　Delta) ・-1/(EURJPY)^2 × EURJPY +　JPY Put}　× JPY Notional
＝(- JPY Put Delta　/ EURJPY +　JPY Put)　× JPY Notional
(＝-　JPY Put Delta × JPYEUR +　JPY Put)　× JPY Notional
ついでにEUR Call Gammaは
(-　JPY Put Delta × JPYEUR +　JPY Put)　× JPY Notional
の上式にもう一度ｄ/dXを施し、関係ない定数のJPY Notionalを略して書けば
d/dX(-　JPY Put Delta × JPYEUR +　JPY Put)
同様にYで置換微分する。
＝d/dY(-　JPY Put Delta × JPYEUR +　JPY Put)・(dY/dX)
第一項も同様に積の微分で展開。
=(-　JPY Put Gamma × JPYEUR -　JPY Put Delta+　JPY Put Delta)・(dY/dX)
やべ、美しい･･･
=(-　JPY Put Gamma × JPYEUR )・(-1/(EURJPY)^2)
エクスタシー、ドーン。
=JPY Put Gamma × JPYEUR ^3
となる。