バリナリーオプション、デジタルオプション、Cash or Nothingは名前の違い、方言であり、同義です。
私は普段はDigitalと呼んでいます。
バイナリーオプションとは
満期時点において株価がStrikeを越えていたら1、Strike以下なら0となるオプションです。
バイナリーのプットは、Strikeを越えていたら0、Strike以下なら1となります。
100 or 0と表記しているところもありますが、それは百分率で表示しているだけのことですので
単位が異なる程度で本質的な違いはありません。
絵で書くと赤い線部分です。

式で表示すると1[S>K]です。
定性的にはCall　Spreadです。
行使価格100円のCall Option1枚買って、行使価格101円のCall Option1枚売ると
上記青線部分になり、差額は三角形部分。
行使価格100円のCall Option2枚買って、行使価格100.5円のCall Option2枚売ると
差額の三角形部分の面積は半分。
行使価格100円のCall OptionをN枚買って、行使価格100+1/N円のCall OptionN枚売る
Nを∞に持っていったものがバイナリーになります。
ここでセンスの良い読者はお分かりだろう。バイナリーオプションの市場拡張性は限定的である。
例えば日経平均の上場オプションは250円刻みのStrikeであるから、250円Call Spreadで代替が効いてしまう
のである。
また、株は1日2%くらいの変動が期待できることから、O/N以上の長さを持つオプションにとって250円刻み
のStrikeは十分に細かいと言える。特に大口であればあるほど、N＝∞に近いので、この代替投資が有効
になることがわかる。
すなわち、バイナリーオプションの市場存在意義は、代替が効かない投資水準＝超小口の場合のみとなる
のである。
上場オプションの倍数は1000倍であることから、250円×1000で、25万円以下の投資金額であることが想
定される。25万円以上のご予算の方は取引コストが安く、流動性が高い上場オプションに流れてしまう。
25万円で最大投資金額が頭を抑えられてしまうオプションに可能性を感じますか?
定量的には、まさに確率です。株価がStrikeを越える確率です。
すなわちBlack-Scholesは条件付期待値みたいなものですから、満期時点でSをもらってK円払うので

右辺の第一項が株をもらう期待値、第二項のKはCashで不変なので、将来払うCashの部分、
を除いた部分
が確率を示していることがわかります。すなわちこれがバイナリーオプションに相当します。
バイナリーのPayoff(Intrinsic Value)の形が、
VanillaはStrike越えるまでが傾き0、Strike越えてからが傾き1であることから
Plain Vanillaの株価微分と一致しています。
よって、奇異に思えるバイナリーの振舞いも、Zero Driftで、現値とStrikeが等しい時、
バイナリープットオプションのPremium＝Vanilla CallのDelta
バイナリープットオプションのDelta＝Vanilla CallのGamma
バイナリープットオプションのVega＝Vanilla CallのVanna
が成立し、Tradingの際は、全てのRiskが一段微分したような振る舞いになることを想像すればよいでしょう。
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