%Gammaとは何か?

いわゆる、デリバティブの価格をf、Underlyingの価格Sとした時に、
デルタは、 $\reverse\opaque \frac{df}{dS}$ 　（Share’s Delta)
ガンマは、 $\reverse\opaque \frac{d^2f}{dS^2}$ (Share’s Gamma)
と、いずれもSの微分で表記することができる。
このSの微分で直接的に表現できるShares Deltaとは、1円(1ドルでも、とにかく1単位)、Underlyingが動いた時
のデリバティブの価格変動。
%Deltaとは、1%、Underlyingが動いた時、デリバティブの価格変動。
Underlyingの1%はS/100(円もしくは単位)なので、
%Delta $\reverse\opaque = \frac{df}{dS} \frac{S}{100}$
またRisk Exposureの観点から、どのくらいの金額のUnderlyingと等価なのかという観点では、株数×株価なので、
Delta Amount $\reverse\opaque = \frac{df}{dS} S$
が使われます。
%DeltaとDelta Amountは%で規格化されているため、複数のUnderlyingにまたがってDerivativesを持っている場合
でも足し算することができます。Shares Deltaは10000円の株の1円の変動と、100円の株の1円の変動、ひいては、50ドルの株の
1ドルの変動を現わしており、全てにおいて意味合いが変わってくる数量なので、足し算ができません。
俗に言う、~~%Gamma~~Gamma Amountとは
1%　Underlyingが動いた時、リバランスする必要があるUnderlyingの金額。すなわち、デルタヘッジを基にしたポートフォリオを想定
しており、1%変動した時、デリバティブとヘッジポジションを合わせたポートフォリオのDelta Amountの変動金額。
デリバティブのDelta Amount－ヘッジポジションのDelta Amount
$\reverse\opaque \frac{df}{dS} S - \Delta S$ 　(ここでヘッジした株数を定数とするためにΔは $\reverse\opaque \frac{df}{dS}$ の定数表記とする)
であるから原則に基づき、このポートフォリオのShares Delta、つまり1円あたりの変動額は微分で求められるので、Sで微分すると
$\reverse\opaque \frac{d}{dS} ( \frac{df}{dS}S - \Delta S)$
$\reverse\opaque = \frac{d^2f}{dS^2} S + \frac{df}{dS}- \Delta \frac{dS}{dS}$ (前半は積の微分)
$\reverse\opaque = \frac{d^2f}{dS^2} S + \frac{df}{dS}- \Delta 1$
$\reverse\opaque = \Gamma S + \Delta- \Delta$
$\reverse\opaque = \Gamma S$
~~だから1%あたりのポートフォリオの変分は同様にこれにS/100をかければ良いので~~
Gamma Amountに対してDelta Amountに対する%Deltaにおけるリバランス数量も1/100だから、上記(↑)の式を定数倍＝1/100した微分方程式となり結果も単純に
~~% Gamma~~ $\reverse\opaque = \Gamma \frac{S}{100}$
で、それに対する1%＝S/100の変分だから、さらに×(S/100)すると
%Gamma＝ $\reverse\opaque = \Gamma (\frac{S}{100})^2$
となる。
※ブログ管理者の方から「極力訂正は避けてくれ」と言われていたのですが、あまりにも露骨な間違いが発覚したため、赤い部分が追加・訂正になっています。(2015/6/16)　この記事から4年も経ってるのに、プロフェッショナル諸君は間違いに気付いていただろ? 俺の修正部分は↑だけだぞ。つまり、↓と↑で言ってること矛盾してるんだから、「おいおい」というツッコミをしてくれよ。素人も読んでるのだから、分かりきった間違いでもいちいち指摘してくれたほうが世のため人のためなんだぞ。
一方、よくある間違いとして、
1% Underlyingが動いた時、% Delta　の変動分(＝リバランス数量ではなく単純な変動)ならば
$\reverse\opaque =\frac{d}{dS} ($ %Delta $\reverse\opaque ) \frac{S}{100}$
$\reverse\opaque =\frac{d}{dS} ( \frac{df}{dS} \frac{S}{100}) \frac{S}{100}$
$\reverse\opaque =(\frac{d^2f}{dS^2} \frac{S}{100} + \frac{df}{dS} \frac{1}{100}) \frac{S}{100}$ (前半は積の微分)
$\reverse\opaque =(\Gamma \frac{S}{100} + \Delta \frac{1}{100}) \frac{S}{100}$
となり、一般に言われる%Gammaと比べると・・・金額があれ?ということになる。
また、1% Underlyingが動いた時、Delta　Amountの変動分としたら、上記の単に100倍しただけの数値になるわけであるが、% Gammaとは $\reverse\opaque \Delta \frac{S}{10000}$ 　の分だけずれるということがおわかりいただけよう。
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